Soluzione: Il Problema delle Pesate 2
Questo enigma sembra uguale a quello precedentemente esposto sul sito ma differisce dal fatto che in questo caso non sappiamo se la sfera da individuare sia più pesante o più leggera delle altre, quindi una difficoltà in più che però è compensata dalla possibilità di utilizzare una pesata in più. Per rendere più semplice la spiegazione dell’enigma possiamo riferirci allo schema che è riportato sotto dove abbiamo numerato le otto sfere e abbiamo considerato tutti i possibili risultati delle tre pesate disponibili. In rosso con le lettere dalla A alla Z sono elencati tutti i casi che si possono verificare in funzione della scelta che abbiamo operato su quali sfere mettere via via sulla bilancia e le frecce individuano il percorso logico che si sviluppa man mano fino ad arrivare, in fondo alla tabella, alla determinazione della sfera cercata e i pedici p ed L si riferiscono al fatto che questa sia più pesante o più Leggera delle altre.
Alla prima pesata si mettono sulla bilancia le sfere 1,2,3 sul piatto di sinistra, le sfere 4,5,6 su quello di destra e si lasciano fuori le sfere 7 e 8. Dalla pesata può risultare che il piatto di sinistra sia più pesante di quello di destra (caso A), sia di peso uguale (caso B) oppure sia di peso maggiore (caso C).
Se si verifica la situazione del caso A possiamo concludere che le sfere 7 e 8 siano normali e che quella da trovare possa essere la 1 o la 2 o la 3 se la sfera è più pesante delle altre oppure la 4 o la 5 o la 6 se la sfera è più leggera. Procediamo dunque con la seconda pesata mettendo nel piatto di sinistra le sfere 1 e 4 e in quello di destra le sfere 2 e 5. Anche in questo caso ci possono essere tre risultati della pesata: piatto di sinistra più pesante (caso D), uguale ( caso E)o più leggero di quello di destra (caso F). Se ci troviamo nel caso D allora possiamo concludere che la sfera da determinare possa essere la 1 se è più pesante delle altre oppure la 5 se è più leggera. Questo lo si deduce facendo le seguenti osservazioni:
Dalla seconda pesata risulta che il peso delle sfere 1+4 è maggiore a quello delle sfere 2+5 ma questo maggiore peso non può essere determinato da un maggior peso della sfera 4 dato che questa nella prima pesata (caso A) si trovava nel piatto di destra più leggero (una sfera non può essere prima più leggera e poi più pesante ma mantiene sempre il suo peso [nota1]). Non può nemmeno dipendere dal minor peso della sfera 2 dato che questa nella prima pesata si trovava sul piatto di sinistra più pesante. Pertanto dobbiamo concludere che la sfera da determinare possa essere la 1 se è più pesante delle altre oppure la 5 se è più leggera. Per capire qual’è la sfera da determinare effettuo la terza pesata mettendo sul piatto di sinistra la sfera 1 e su quello di destra la sfera 8 che come abbiamo già dedotto è sicuramente di peso normale per cui se pesa di più la sfera 1 abbiamo determinato che la sfera da trovare è più pesante delle altre ed è proprio la 1 (caso N). Nel caso la terza pesata desse un ugual peso dei piatti allora vuol dire che la sfera 1 è normale (perché pesa come la 8 che è normale) e per esclusione quella da determinare sarà la 5 che sarà quindi più leggera delle altre. Notiamo che la terza pesata non presenta mai la terza possibilità (in questo caso che il piatto con la sfera 8 sia più pesante di quello con la sfera 1) perché se si verificasse ci troveremmo in un caso impossibile (nel senso che abbiamo fatto qualche errore) in quanto la sfera 1 che dalla seconda pesata è risultata essere o normale o più pesante delle altre qui diventerebbe invece più leggera.
Per tutti gli altri casi basta seguire lo schema della figura e procedere con ragionamenti analoghi a quello appena fatto. Soltanto un commento ai casi G e I per i quali bastano solo due pesate e al caso H che determina in sole due pesate la sfera 8 in cui la terza pesata serve solo per determinare se questa sia più leggera o più pesante, cosa che in alcune enunciazioni è esplicitamente richiesto.
Nota 1: Ovviamente in questo caso abbiamo usato la comune accezione della parola “peso” mentre avremmo dovuto usare la più corretta parola “massa” in quanto la bilancia effettua un misura di massa, che è una costante, e non di peso che invece è una forza e varia al variare dell’accelerazione di gravità dato che P=ma.
Alla prima pesata si mettono sulla bilancia le sfere 1,2,3 sul piatto di sinistra, le sfere 4,5,6 su quello di destra e si lasciano fuori le sfere 7 e 8. Dalla pesata può risultare che il piatto di sinistra sia più pesante di quello di destra (caso A), sia di peso uguale (caso B) oppure sia di peso maggiore (caso C).
Se si verifica la situazione del caso A possiamo concludere che le sfere 7 e 8 siano normali e che quella da trovare possa essere la 1 o la 2 o la 3 se la sfera è più pesante delle altre oppure la 4 o la 5 o la 6 se la sfera è più leggera. Procediamo dunque con la seconda pesata mettendo nel piatto di sinistra le sfere 1 e 4 e in quello di destra le sfere 2 e 5. Anche in questo caso ci possono essere tre risultati della pesata: piatto di sinistra più pesante (caso D), uguale ( caso E)o più leggero di quello di destra (caso F). Se ci troviamo nel caso D allora possiamo concludere che la sfera da determinare possa essere la 1 se è più pesante delle altre oppure la 5 se è più leggera. Questo lo si deduce facendo le seguenti osservazioni:
Dalla seconda pesata risulta che il peso delle sfere 1+4 è maggiore a quello delle sfere 2+5 ma questo maggiore peso non può essere determinato da un maggior peso della sfera 4 dato che questa nella prima pesata (caso A) si trovava nel piatto di destra più leggero (una sfera non può essere prima più leggera e poi più pesante ma mantiene sempre il suo peso [nota1]). Non può nemmeno dipendere dal minor peso della sfera 2 dato che questa nella prima pesata si trovava sul piatto di sinistra più pesante. Pertanto dobbiamo concludere che la sfera da determinare possa essere la 1 se è più pesante delle altre oppure la 5 se è più leggera. Per capire qual’è la sfera da determinare effettuo la terza pesata mettendo sul piatto di sinistra la sfera 1 e su quello di destra la sfera 8 che come abbiamo già dedotto è sicuramente di peso normale per cui se pesa di più la sfera 1 abbiamo determinato che la sfera da trovare è più pesante delle altre ed è proprio la 1 (caso N). Nel caso la terza pesata desse un ugual peso dei piatti allora vuol dire che la sfera 1 è normale (perché pesa come la 8 che è normale) e per esclusione quella da determinare sarà la 5 che sarà quindi più leggera delle altre. Notiamo che la terza pesata non presenta mai la terza possibilità (in questo caso che il piatto con la sfera 8 sia più pesante di quello con la sfera 1) perché se si verificasse ci troveremmo in un caso impossibile (nel senso che abbiamo fatto qualche errore) in quanto la sfera 1 che dalla seconda pesata è risultata essere o normale o più pesante delle altre qui diventerebbe invece più leggera.
Per tutti gli altri casi basta seguire lo schema della figura e procedere con ragionamenti analoghi a quello appena fatto. Soltanto un commento ai casi G e I per i quali bastano solo due pesate e al caso H che determina in sole due pesate la sfera 8 in cui la terza pesata serve solo per determinare se questa sia più leggera o più pesante, cosa che in alcune enunciazioni è esplicitamente richiesto.
Nota 1: Ovviamente in questo caso abbiamo usato la comune accezione della parola “peso” mentre avremmo dovuto usare la più corretta parola “massa” in quanto la bilancia effettua un misura di massa, che è una costante, e non di peso che invece è una forza e varia al variare dell’accelerazione di gravità dato che P=ma.