Soluzione: Probabilità: 50%
Il numero minimo di palline è 6 e il loro colore è 5 nere e 1 bianca. Vediamo perché. Il calcolo delle combinazioni di un certo numero k di palline prese da un insieme di n palline è noto nel calcolo combinatorio come “Combinazioni senza ripetizioni” e sintetizzato in C(n,k). Per sapere quante combinazioni si possono avere la formula ci dice che:
Dato che le palline estratte sono tre, il valore di k deve essere 3 e il valore di n parte da 3 in poi. Dato che dobbiamo determinare il numero minimo di palline contenute nel sacchetto che diano una estrazione di 3 palline nere come un evento di probabilità del 50% si tratta di trovare il numero n di palline che presenti questa eventualità.
Vediamo che per n=3 C(3,3)=1 cioè presenta una sola combinazione che è composta da tutte palline nere N,N,N (come nel caso in esame). Ma in questo caso la probabilità che vengano estratte tre palline nere è del 100% in contrasto con l’assunto che invece la probabilità sia del 50%, quindi questo caso non è quello cercato.
Vediamo che per n=3 C(3,3)=1 cioè presenta una sola combinazione che è composta da tutte palline nere N,N,N (come nel caso in esame). Ma in questo caso la probabilità che vengano estratte tre palline nere è del 100% in contrasto con l’assunto che invece la probabilità sia del 50%, quindi questo caso non è quello cercato.
Queste quattro combinazioni possono essere formate o da quattro palline nere ma allora la probabilità di estrarne tre nere è del 100% e quindi non va bene, oppure da tre nere ed una bianca che sono N1,N2,N3 - N1,N2, B - N1,N3, B - N2,N3, B. Come si vede la probabilità di estrarre tre palline nere è del 25% e quindi non va bene neanche questo caso.
Queste 5 palline possono essere tutte nere, ma in questo caso la probabilità di estrarne tre nere è del 100% e quindi non va bene, possono essere 4 nere e una bianca così composte: N1,N2,N3 - N1,N2,N4 - N1,N2,B - N1,N3,N4 - N1,N3,B - N1,N4,B - N2,N3,N4 - N2,N3,B - N2,N4,B - N3,N4,B. Come si vede la probabilità di estrarre tre palline nere è del 40% e quindi non va bene neanche questo caso.
Le palline possono essere 3 nere e 2 Bianche, cos’ composte: N1,N2,N3 - N1,N2 B1 - N1,N2,B2 -N1,N3,B1 - N1,N3,B2 - N1,B1,B2 - N2,N3,B1 - N2,N3,B2 - N2,B1,B2 - N3,B1,B2. Anche questo caso non è quello cercato perché la probabilità di estrarne tre nere è del 10%.
Le palline possono essere 3 nere e 2 Bianche, cos’ composte: N1,N2,N3 - N1,N2 B1 - N1,N2,B2 -N1,N3,B1 - N1,N3,B2 - N1,B1,B2 - N2,N3,B1 - N2,N3,B2 - N2,B1,B2 - N3,B1,B2. Anche questo caso non è quello cercato perché la probabilità di estrarne tre nere è del 10%.
Queste 6 palline possono essere tutte nere, ma in questo caso la probabilità di estrarne tre nere è del 100% e quindi non va bene, possono essere 5 nere e una bianca così composte: N1,N2,N3 - N1,N2,N4 - N1,N2,N5 - N1,N2,B - N1,N3,N4 - N1,N3,N5 - N1,N3,B - N1,N4,N5 - N1,N4,B - N1,N5,B - N2,N3,N4 - N2,N3,N5 - N2,N3,B - N2,N4,N5 - N2,N4,B - N2,N5,B - N3,N4,N5 - N3,N4,B - N3,N5,B - N4,N5,B. Come si vede questa è la combinazione che fa si che ha la probabilità di estrarre tre palline nere sia del 50%.